Syntax Logik Einführung Kapitel 5
(griechisch συνταξις [syntaksis] – die Zusammenstellung)
Syntaktisch korrekte Sätze bezeichnen wir als Formeln.
Atome werden auch als atomare Formeln bezeichnet.
Beispiel – Syntax: Wumpus-Welt
Angenommen, wir wollen folgende Aussagen, welche die Wumpus-Welt beschreiben, als atomar betrachten:
- Der Wumpus befindet sich auf Feld [A,3]
- Auf Feld [B,3] ist ein Luftzug bemerkbar
- Auf Feld [C,1] befindet sich eine Fallgrube
- etc.
und interessieren uns für folgende Zusammensetzungen von Aussagen (und damit für folgende Junktoren):
- Auf Feld [B,2] befindet sich eine Fallgrube ODER auf Feld [C,1] befindet sich eine Fallgrube
- Auf Feld [B,3] ist ein Luftzug bemerkbar UND auf Feld [B,3] ist ein Gestank bemerkbar
- Der Wumpus befindet sich NICHT auf Feld [A,2]
- WENN (NICHT auf Feld [B,2] ist ein Gestank bemerkbar ist) DANN (NICHT der Wumpus befindet sich auf Feld [B,3])
- etc …
So können wir die Aussagen z.B. in folgender Form darstellen:
- Wumpus(A,3)
- Luftzug(B,3)
- Fallgrube(B,2) ODER Fallgrube(C,1)
- Luftzug(B,3) UND Gestank(B,3)
- NICHT Wumpus(A,2)
- WENN (NICHT Gestank(B,2)) DANN (NICH Wumpus(B,3))
D.h. Mit Syntax bezeichnen wir den formalen Aufbau von Formeln – sie definiert die Regeln, wie die Ausdrücke einer Sprache auszusehen haben.
Durch die Syntax wird also die Formelsprache der Logik definiert.
Sie bezieht sich immer nur auf die rein formale Struktur (Form) wie sie z.B. in mechanischen Systemen dargestellt werden kann – die Bedeutung oder Bewertung ist darin nicht enthalten.
Die Syntax einer Logik wird meist im Rahmen eines formalen Regelsystems (eines sog. Kalküls) definiert.
Kalkül
(Logik Einführung Kapitel 5.1)
Innerhalb dieses Regelsystems wollen wir unser Wissen darstellen und daraus durch mechanische Ableitungen neues Wissen generieren.
Das Konzept des Kalküls ist sehr allgemein und in der Mathematik weit verbreitet.
- einem Alphabet
- und Formationsregeln
durch die die Syntax der Sprache definiert wird und
- Axiomen
- und Schlussregeln
die unser Grundwissen und formale Ableitungsregeln zur Generierung neuen Wissens ausdrücken.
Wir wollen hier zunächst näher auf das Alphabet und die Formationsregeln eingehen.
Mit den Axiomen und Schlussregeln werden wir uns später näher beschäftigen.
Alphabet
(Logik Einführung Kapitel 5.1.1)
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- Logik Einführung: Die Wumpus-Welt
- Logik Einführung: Syntax
Das Alphabet besteht meist aus einer Menge beliebiger Zeichen.
Beispiel – Alphabet: Wumpus-Welt
Führen wir das Beispiel aus dem Kapitel „Syntax“ fort, so definieren wir z.B., dass Sätze aus folgenden Elementen bestehen:
- den Buchstaben A-Z und a-z um Worte wie ‚Gestank‘, ‚Luftzug‘, ‚Glitzern‘, ‚Wumpus‘, ‚Fallgrube‘, etc. darzustellen
- den Zeichen 1-4 für die Koordinaten
- runden Klammern für die Gliederung und um die Koordinaten auszudrücken
- dem Beistrich, um die Koordinaten zu trennen
- den 2-stelligen Junktoren UND, ODER um Kombinationen auszudrücken
- dem 2-stelligen Junktor WENN..DANN um Regeln zu definieren
- dem 1-stelligen Junktor NICHT um die Verneinung auszudrücken
Das Alphabet besteht hier also aus der Menge
{A-Z, a-z, 1-4, (, ), UND, ODER, NICHT, WENN, DANN}
Beispiel – Alphabet: elementare Algebra
Die Zeichenfolgen der elementaren Algebra bestehen z.B. aus folgenden Zeichen:
- den Ziffern 0, 1, …, 9
- den Operatoren +, -, *, /, =
- den Klammern ( )
- und den Buchstaben A-Z und a-z für die Variablen
Das Alphabet besteht hier also aus der Menge
{0-9, +, -, *, /, =, (, ), a-z, A-Z}
Formationsregeln
(Logik Einführung Kapitel 5.1.2)
Diese Seite nimmt Bezug auf
- Logik Einführung: Die Wumpus-Welt
- Logik Einführung: Syntax
- Logik Einführung: Alphabet
- welche Worte gültig sind,
- und über die Grammatik, die uns sagt, wie wir zusammengesetzte Sätze bilden können.
Genauso benötigen wir in unserer formalen Sprache solche Regeln.
Die Formationsregeln beschreiben also, wie unsere Atome aussehen, und zu komplexeren Objekten zusammengefügt werden dürfen.
Beispiel – Formationsregeln: Wumpus-Welt
Wir verwenden das Alphabet aus dem Beispiel in Kapitel „Alphabet“Die Formationsregeln definieren wir so, dass z.B. folgende Sätze gebildet, und als korrekt erkannt werden können:
- Luftzug(D,3)
- Wumpus(C,2) ODER Wumpus(C,4)
- WENN (NICHT Gestank(B,2)) DANN (NICHT Wumpus(B,3) UND NICHT Wumpus(B,1))
und z.B. folgende Sätze nicht korrekt sind:
- Luftzug
- 4GestankB
- Wumpus(1,A)
- WENN DANN Glitzern(A,1)
- LuftzugB2) UND Gestank(B2 UND NICHT ODER
Beispiel – Formationsregeln: elementare Algebra
Wir verwenden das Alphabet aus dem Beispiel in Kapitel „Alphabet“.Um die elementare Algebra zu erhalten, müssen wir die Formationsregeln so definieren, dass
Atome aus Aneinaderreihungen von Ziffern bestehen, also z.B.
- 0
- 123
- 38749
Formeln z.B. folgende Form haben
- 1234+56
- 0+1+2+3
und nicht korrekte Sätze, wie
- 12++34
als nicht korrekt erkannt werden.
Man könnte jedoch auch andere Formationsregeln, basierend auf dem gleichen Alphabet, definieren:
- auf das Symbol ‚1‘ muss immer das Symbol ‚3‘ folgen, und
- zwischen den Zeichen ‚2‘ und ‚3‘ müssen die Zeichen ‚++’stehen.
In so einem System wären die Zeichenfolgen
- 123 nicht korrekt
- 12++34 korrekt